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“第二个问题，霍普夫（hopf）猜想。”
“整体微分几何的核心问题之一是研究局部不变量和整体不变量的关系，研究曲率和拓扑的关系。
我们来考察曲面s，它上面有度量，也就有gas曲率k，如果曲面是紧致无边的话，gas曲率k就可以在整个曲面上进行积分。一个曲面不一定只容有一个度量，可以有另外一个度量，换了度量以后，相应的gas曲率k也就变了，但积分值与曲面的度量无关，而只与曲面的euler不性数x5有关。
这就是gas-bon公式所揭示的深刻内涵。
对高维黎曼流形，gas曲率可以推广为截面曲率，它由黎曼曲率张量所决定，被积函数是由曲率张量组成的很复杂的代数式子，称为gas-bon被积函数，它在整个流形上的积分，应该由这个流形的euler示性数所决定。它的内蕴证明是陈省身得到的，后来就称为gas_bon-陈公式。
对紧致无边的偶数维流形2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的euler示性数满足
-lnx2n01当截面曲率为负时，上式为严格不等式。
这就是著名的hopf猜想。
迄今，hopf猜想仅在一些附加条件下得到验证，如截面曲率夹在两个负常数间有工作bnon-karcherpl，donnelly-xavier以及jost-x间。
borel对非紧型秩1对称空间证实了猜想。
